TUGAS KALKULUS: RANGKUMAN KALKULUS PERTEMUAN 12 (INTEGRAL PARSIAL TAK TENTU)

INTEGRAL PARSIAL TAK TENTU

Maka ada sebuah cara yang bist dipakai guna menyelesaikan soal integral yang diberikan. Metode ini dapat terbilang dibilang ampuh dan merupakan pamungkas yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal integral.

Contoh soal integral yang dapat diselesaikan dengan rumus integral parsial ialah sebagai berikut.

Rumus Integral Parsial

Sehingga, cara yang tepat guna mengerjakan soal yang diberikan di atas ialah dengan rumus integral parsial. Secara umum, rumus integral persial dinyatakan melalui persamaan di bawah.

Dalam pengintegralan, selain operasi biasa atau dengan teknik substitusi, ada teknik lain yaitu integral parsial. Teknik ini digunakan jika pada teknik sebelumnya tidak bisa digunakan. Teknik ini merupakan integral dari turunan hasil kali dua fungsi. Berikut ini adalah konsep integral parsial:

Jika y = U(x) . V(x), maka:

$\frac{dy}{dx}=V(x) \cdot U',(x)+U(x) \cdot V',(x)$

$dy = v(x) \cdot U' (x)dx+U(x) \cdot V' (x)\, dx$

Jika y diganti UV maka:

$d(UV) = V(x) \cdot U' (x)\, dx+U(x) \cdot V'(x)\, dx$

Karena diketahui bahwa $U' (x) dx = dU$ dan $V' (x) dx = dV$ , maka persamaan menjadi:

d(UV) = V . dU + U . dV

U . dV = d(UV) – V . dU

Dengan mengintegralkan kedua ruas dalam persamaan diatas, diperoleh:

Rumus ntegral parsial:

$\int U \cdot dV = UV -\int V \cdot dU$

Perlu diperhatikan untuk memilih U dan dV yang tepat agar pengintegralan memberikan hasil. (dV) harus dipilih yang dapat diintegralkan dengan rumus, sedangkan yang lain menjadi U.

Dalam integral parsial, terkadang bisa menurunkan U dan mengintegralkan dV secara berulang. Jika terjadi proses yang berulang, maka proses dapat diringkas. Sebagai contoh $\int x^2 \cos x\, dx$ adalah:

integral parsial

Maka diperoleh hasil:

$\int x^2 \cos x\, dx = (x^2 \cdot \sin x)-(2x \cdot - \cos x)+(2 \cdot - \sin x)+C$

Pada pembahasan ini kita akan berlatih menemukan antiturunan dengan menggunakan integral parsial. Selain itu, di bagian akhir pembahasan ini, kita juga akan menggunakan metode tabulasi dalam melakukan proses integral parsial tersebut. Teknik integral parsial dapat diterapkan dalam berbagai macam fungsi, dan secara khusus teknik tersebut sangat berguna ketika dijumpai integran yang melibatkan perkalian fungsi-fungsi aljabar dan transendental. Sebagai contoh, integral parsial akan sangat berfungsi dengan baik untuk menyelesaikan,

Contoh Integral

Integral parsial didasarkan pada rumus turunan dari perkalian dua fungsi.

Turunan Perkalian

di mana u dan v adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dalam x. Jika u’ dan v’ kontinu, kita dapat mengintegralkan kedua ruas dari persamaan di atas dan memperoleh

Asal Integral Parsial

Dengan menulis kembali persamaan di atas, diperoleh teorema berikut.

Teorema 1: Integral Parsial
Jika u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x yang kontinu dan terdiferensialkan, maka

Rumus integral parsial ini menyatakan integral aslinya ke dalam bentuk integral yang lain. Berdasarkan pemilihan u dan dv, akan lebih mudah menyelesaikan bentuk integral yang kedua daripada bentuk aslinya. Karena pemilihan u dan dv sangatlah krusial dalam proses integral parsial, berikut ini panduan dalam memilih u dan dv.

Panduan dalam Proses Integral Parsial

Cobalah untuk memisalkan dv sebagai bagian yang sangat rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral. Sehingga u merupakan faktor lainnya dari integran.
Cobalah untuk memisalkan u sebagai bagian dari integran yang turunannya lebih sederhana dari u. Selanjutnya dv merupakan faktor integral lainnya.

Perhatikan bahwa dv selalu memuat dx dari integran aslinya. Untuk lebih memahami bagaimana menyelesaikan permasalahan integral dengan menggunakan metode integral parsial, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh Integral Parsial

Tentukan,

Contoh 1

Pembahasan Untuk menerapkan integral parsial, kita perlu untuk menuliskan integral tersebut ke dalam

Contoh 1 Bentuk Parsial

Terdapat beberapa cara untuk melakukan hal tersebut, yaitu

Contoh 1 Kemungkinan

Panduan dalam pemilihan u dan dv sebelumnya menyarankan kita untuk memilih pilihan pertama karena turunan dari u = x lebih sederhana dari x, dan dv = ex merupakan bagian yang paling rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral.

Contoh 1 u dv

Sekarang, dengan integral parsial akan dihasilkan

Contoh 1 Integrasi

Untuk memeriksa hasil pengintegralan ini, kita dapat menurunkan hasil tersebut untuk mendapatkan integran aslinya.

Catatan Pada contoh 1 di atas kita tidak perlu menuliskan konstanta ketika menyelesaikan

Contoh 1 Keterangan

Untuk mengilustrasikan hal ini, cobalah mengganti v = ex dengan v = ex + C1 kemudian terapkan proses integral parsial untuk melihat bahwa kamu akan mendapatkan hasil yang sama.

LATIHAN SOAL MODUL PERTEMUAN 12